Il truello

Davi ha scritto:


La scelta di una strategia vale fino a quando ci sono tutti e 3 i contendenti in vita. Non appena uno muore, la sfida diventa uno scontro a due dove ognuno cerca di uccidere l'altro.
Quindi, dati i 6 casi equiprobabili ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA, vediamo come potrebbe ragionare il primo che deve sparare.

Supponiamo di essere nei primi due casi, e che quindi il primo colpo sia sparato da A. A è consapevole che ucciderà il suo bersaglio e, se sopravvive al colpo di quello rimasto in vita, con un secondo colpo la ucciderà, vincendo in questo modo la sfida. Quindi deve lasciare in vita quello che ha 
la probabilità di successo minore, cioè C, perciò sparerà a B uccidendolo.
Ora C sa che ha un solo colpo, con probabilità 1/2 di uccidere A; se fallisce sarà lui stesso a morire il turno seguente.
Quindi in questi primi 2 casi, le probabilità di uscire vittoriosi dalla 

sfida sono:
A 1/2
B 0
C 1/2

Analizziamo il caso BAC.
B vede che il secondo a dover sparare sarà A. Se B decidesse di sparare a C, sia che lo ammazzi (in questo caso rimmarrebbero solo B e A), sia che lo lasci in vita, si rende conto che poi A sparerebbe a lui, uccidendolo.
Quindi l'unico modo per poter sperare di aver la meglio è puntare proprio ad ammazzare A. Si hanno ora 2 casi:
-con probabilità 1/5 A sopravvive. Dato che è il secondo a dover sparare e che sono vivi sia B che C, seguirà la strategia che avrebbe seguito nel caso in cui fosse stato il primo a sparare (quella esposta nei due casi precedenti)
-con probabilità 4/5 A muore. In questo caso il duello si riduce ad una sfida tra B e C a "chi colpisce per primo".

In totale, le probabilità di successo dei tre contendenti sono:
A 1/10
B 16/45
C 49/90

Caso BCA.
B deve decidere a chi sparare.
Supponiamo che decida di sparare a C. Se lo ammazza, poi verrà ucciso a sua volta da A, dato che sono rimasti in due. Se non lo ammazza, non gli resta che sperare che C spari ad A uccidendolo, altrimenti sarà lo stesso B a morire. va notato che B è convinto della scelta di C, perchè se quest'ultimo decidesse di sparare a lui, poi dovrebbe vedersela col colpo infallibile di A. Tutto sommato, è da notare che la persona che ha più probabilità di 
morire, nel caso appena analizzato, è proprio B.
Quindi B deciderà di sparare ad A. Se lo uccide, poi la sfida continua tra B e C.
Se B non uccide A, é C a dover prendere la decisione su chi sarà il suo bersaglio. Se uccidesse B, poi morirebbe per mano di A.
Se sparasse ad A, poi verrebbe molto probabilmente ucciso da B.
Quindi la sua migliore prospettiva è quella di sparare e mancare il 
bersaglio, in modo tale da lasciare che A uccida B ed avere cosi 1 possibilità su 2 di uccidere a sua volta A, prima che sia il turno del pistolero infallibile. Quindi in questo caso a C conviene sparare in alto, in 
mezzo ad un campo o comunque lontano da A e da B.
Quindi, capita la scelta di C, il caso si riduce come a BAC, con le stesse probabilità di vittoria.

Caso CAB.
Capito il fatto che C non mira ne ad A ne a B, finchè entrambi sono vivi, questo caso si riduce come i primi due.

Caso CBA.
Anche in questo caso C farà in modo che i due pistoleri più bravi si affrontino tra di loro, subentrando solo alla morte di uno dei due.
COsì facendo questo caso si riduce come quelli in cui è B a sparare per primo.

Alla fine avremo le seguenti possibilità di uscire vittoriosi dal conflitto:

A 1/6 * (3 * 1/2 + 3 * 1/10) = 3/10
B 1/6 * (3 * 0 + 3 * 16/45) = 8/45
C 1/6 * (3 * 1/2 + 3 * 49/90) = 47/90

che in percentuale sono:

A 30% ; B 17,78% ; C 52,22%

Quindi, chi ha più probabilità di uscire vincente dal "truello" è C col 52,22% di possibilità.

PS: dal testo dell'enigma ho visto solo che c'è l'obbligo di sparare, ma non mi pare che qualcosa vieti a C di sparare altrove per mancare appositamente i suoi avversari. Spero che come soluzione sia accettabile, altrimenti mi 
ritirerò a fare molti altri pensieri su come risolverlo.